Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений. Урок алгебры в 8-м классе

Предполагается, что к концу урока учащиеся будут уметь применять алгоритм решения текстовых задач на составление квадратных уравнений для решения практико-ориентированных задач.

Инна СИНКЕВИЧ,
учитель математики,
ГУО «Средняя школа № 1 г. Чашники имени Героя Советского Союза Е.Ф.Ивановского»,
Витебская область

Цель: организовать деятельность, направленную на теоретическое обобщение, систематизацию изученного материала, на применение знаний для решения практико-ориентированных задач. Предполагается, что к концу урока учащиеся будут уметь применять алгоритм решения текстовых задач на составление квадратных уравнений для решения практико-ориентированных задач.

Задачи

Образовательные:

– обеспечить осознанное усвоение алгоритма решения текстовых задач;
– закрепить навыки и умения применять квадратные уравнения при решении задач;
– создать условия для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении задач.

Развивающие:

– способствовать развитию творческой активности учащихся;
– повысить познавательный интерес к предмету, способствовать развитию межпредметных связей.

Воспитательные:

– воспитывать умение слушать и вступать в диалог;
– формировать внимательность и аккуратность в работе;
– воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

Тип урока: практикум по решению текстовых задач.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Методы оценивания: устный опрос, самоконтроль, взаимоконтроль, контроль.

Оборудование: раздаточный материал (индивидуальные карточки), презентация, оценочный лист (Приложение).

Эпиграф к уроку: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать и бегать. Ему можно научиться только путем подражания и упражнения» – Д.Пойа.

План урока

1 Организационный момент (2 мин.)
2 Проверка домашнего задания (5 мин.)
3 Актуализация знаний (устный опрос) + кроссворд (9 мин.)
4 Устная работа (5 мин.)
5 Решение задач + физкультминутка (10 мин.)
6 Самостоятельное решение задач (10 мин.)
7 Задание на дом (1 мин.)
8 Подведение итогов за урок. Рефлексия (3 мин.)

Ход урока

1 Организационный момент

– Здравствуйте, ребята! Вы все знаете, что наступивший год объявлен годом… Правильно, Годом качества. Поэтому, я желаю вам ребята, качественной и плодотворной работы на уроке. Тема урока – «Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений». (Слайд 1)

– Это четвертый урок из шести по теме, поэтому цель урока: организовать деятельность, направленную на теоретическое обобщение, систематизацию изученного материала, на применение знаний для решения практико-ориентированных задач. (Слайд 2)

– Сегодня на уроке у каждого из вас есть возможность получить отметку. На каждом этапе урока вы будете зарабатывать баллы, сумма которых в конце урока будет переведена в отметку, согласно предложенной шкале. Заработанные баллы вы будете проставлять в оценочные листы, которые лежат у вас на столах. (Слайд 3) Ребята, сегодня оценивать себя вы будете сами или ваши одноклассники.

2 Проверка домашнего задания (фронтально, с выставлением баллов за номера; Слайды 4, 5)

№ 2.201.

Вопросы к задаче:

1. Что приняли за х?
2. Что такое х– 1?
3. Какое уравнение составили?
4. Чему равны дискриминант корни?
5. Какой получили ответ?

Пусть х человек приняло участие в турнире, х – 1 – количество партий, сыгранных каждым игроком, х(х – 1)/2 – всего сыграно партий. Но по условию задачи партий сыграно 120. Составим уравнение.

х (х – 1)/2 = 120,
х² – х – 240 = 0,
Д = 961,
х₁ = 16,
х₂ = – 15, исключается по смыслу задачи.

Ответ: 16 человек.

№ 2.202.

Вопросы к задаче:

1. Что приняли за х?
2. Что такое х + 6, х + 15, х + 12?
3. Какое уравнение составили?
4. Чему равны дискриминант корни?
5. Какой получили ответ?

Пусть х м – ширина тренажерного зала, тогда

х + 6 (м) – длина тренажерного зала,
х + 6 + 9 = х + 15 (м) – длина зала для акробатики,
х + 12 (м) – ширина зала для акробатики,
х(х + 6) (м²) – площадь тренажерного зала,
(х + 15)(х + 12) (м²) – площадь зала для акробатики.

По условию задачи площадь зала для акробатики в 3 раза больше площади тренажерного зала. Составим уравнение.

3х(х + 6) = (х + 15)(х + 12),
3х² + 18х = х² + 12х + 15х +180,
2х² – 9х – 180 = 0,
Д = 1521 = 39²,
х₁ = 12,
х₂ = –7,5; исключается по смыслу задачи.
12 (м) – ширина тренажерного зала,
12 + 6 = 18 (м) – длина тренажерного зала,
12 ∙ 18 = 216 (м²) – площадь тренажерного зала.

Ответ: 12 м, 18 м, 216 м².

– У кого две задачи решены верно, ставит в оценочный лист в строку «Домашнее задание» по два балла за каждую задачу, т.е. 4 балла. Если задача решена с ошибкой – то задача оценивается в 1 балл, если нет задачи, то ноль баллов.

3 Актуализация теоретических знаний

Слайд 6

– На данном этапе изучения темы вы должны уметь (прочитать из таблицы). Но умения невозможны без знаний.

1. Итак, давайте назовём три этапа математического моделирования?

1) Построение математической модели, т.е. составление уравнения.
2) Решение математической задачи, в нашем случаи квадратного уравнения.
3) Анализ полученного результата, исходя из условия задачи.

2. Определение квадратного уравнения.

Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с – числа, х – переменная называется квадратным уравнением.

3. Алгоритм решения квадратных уравнений.

Находим дискриминант по формуле b² – 4ac.
Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:
х₁ = (–b + √D)/2a, х₂ = (–b – √D)/2a.
Если D = 0, то один корень, х = –b/2a.
Если D < 0, то нет корней.

– Как еще можно решить квадратное уравнение? (Приведенное квадратное уравнение можно решить, пользуясь теоремой Виета. Сумма корней уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение – свободному числу.)

4. Назовите алгоритм решения текстовой задачи на составление уравнения.

1. Выяснить, о каких величинах идет речь.
2. Определить известные и неизвестные величины и зависимости между ними.
3. Одну из неизвестных величин обозначить через х, а остальные величины выразить через х, согласно указанным зависимостям.
4. Составить и решить уравнение.
5. Записать ответ, в соответствии со смыслом задачи.

– Ну, а сейчас мы посмотрим, насколько хорошо вы владеете теоретическими знаниями? На столах у вас лежат кроссворды. Вы должны разгадать кроссворд, и получить в выделенных клетках ключевые слова. (Слайд 7)

Кроссворд «Будем помнить» (Слайд 8)

Вопросы (зачитывать)

1. Какой член неполного квадратного уравнения под номерами 4 и 8 отсутствует? (Свободный)

2. Как называются равенства, представленные на слайде? (Уравнения)

3. Что по теореме Виета равно в приведённом уравнении свободному члену? (Произведение)

4. Как называются квадратные уравнения под номерами 2, 4, 7, 8? (Неполные)

5. Что по теореме Виета равно в приведённом уравнении второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком? (Сумма)

6. Как называются квадратные уравнения под номерами 1, 3, 5, 6 и 9? (Полные)

7. Решить уравнение, это значит найти его…? (Корни)

8. От чего зависит количество корней? (Дискриминант)

9. Как называются уравнения под номерами 3 и 9? (Приведенное)

10. Что мы будем сегодня с вами решать с помощью квадратных уравнений? (Задачи)

11. Как называются уравнения 1–9? (Квадратные)

12. Чему равно произведение корней 9-го уравнения?

– А сейчас давайте проверим ответы (Слайд 9). Поменяйтесь кроссвордами. За каждый правильный ответ – 1 балл. Поставьте полученные баллы в оценочный лист в строку «Кроссворд».

– Итак, мы получили ключевые слова – «Будем помнить!»

– Я не просто так выбрала ключевыми словами «Будем помнить». Ребята, в 2024 году исполнилось 80 лет со дня полного освобождения Беларуси от немецко-фашистских захватчиков. Чтобы жить в мирной стране, мы не должны забывать о том, что ценой своей жизни наши деды и прадеды отстояли для нас этот мир в годы Великой Отечественной войны.

4 Устная работа

– Итак, теорию мы с вами повторили, а теперь поработаем устно. На столах у вас находятся карточки «Устная работа». Вам предлагается устно решить уравнения и записать только ответы к этим уравнениям. На работу три минуты (Слайд 10).

1) Найти произведение корней уравнения, если это возможно:
х² – 80 х + 1000 = 0;

2) Найти сумму корней уравнения, увеличенную в 10 раз, если это возможно:
с² – 160с + 2000 = 0;

3) Найти сумму всех коэффициентов квадратного уравнения:
3000а² – 1800а + 1400 = 0;

4) Решить квадратное уравнение. В ответ записать наибольший корень:
п² – 5п + 4 = 0;

5) Решить квадратное уравнение. В ответ записать положительный корень:
у² – 1418у = 0.

– За каждый правильный ответ – 1 балл. Ответы на слайде (Слайд 11). Проверяете себя сами. Поставьте в оценочные листы полученные баллы в строку «Устная работа».

(Спросить, кто сколько заработал баллов, кто 5 баллов, 4 и т.д.)

– Ребята, еще раз посмотрите на ответы (Слайд 12). За каждым из чисел спрятана информация.

1) x = 1000 км – расстояние от Бреста до Москвы (где война началась и где фашистов остановили);

2) с = 1600 км – расстояние от Москвы до Берлина (где война закончилась);

3) а = 2600 км – расстояние от Бреста до Берлина (если считать по прямой);

4) п = 4 – долгих 4 года продолжалась Великая Отечественная война;

5) у = 1418 дней (4 года или 34 000 часов).

5 Решение задач (у доски)

1) Рано утром 22 июня 1941 года по всей линии советской границы, от Баренцева до Чёрного моря, началось наступление немецких войск. Одной из многих первоначальных целей была Брестская крепость. 21 июня 1941 года через Брест проследовал поезд Берлин – Москва. На станции вышло очень много людей в форме красноармейцев. Как потом оказалось – это были немецкие диверсанты. Поэтому в городе уже вечером не стало связи.

– А сейчас, давайте решим с вами следующую задачу (Слайд 13).

Задача 1. В крепости каждый оборонительный пункт имел линию связи со всеми остальными. Сколько пунктов оказались без связи, если число линий связи равно 28? 

Пусть было х пунктов связи, тогда каждый из них имел (х – 1) линий связи. По условию задачи составляем уравнение:

Решение:

Физкультминутка (Слайд 14)

– Решим еще одну задачу.

2) Самый первый Парад Победы на Красной площади прошёл 24 июня 1945 года. На мавзолее солдат приветствовал Иосиф Сталин. Открывал парад маршал Георгий Жуков. По брусчатке парадными коробками прошло 15 000 человек. Знамёна немецких подразделений бросили к Кремлёвской стене. Первым туда упал штандарт личной охраны Гитлера (Слайд 15).

Задача 2. Классическая парадная коробка состоит из 200 человек. Сколько солдат в одной шеренге, если шеренг в коробке на 10 больше, чем солдат в одной шеренге? (Слайд 16)

Решение:

Пусть х солдат в одной шеренге, тогда шеренг х + 10. х(х + 10) человек – всего в коробке. А по условию задачи в коробке 200 человек. Составим уравнение.

х(х + 10) = 200,
х² + 10х – 200 = 0,
Д = 900,
х₁ = 10,
х₂ = –20 – исключается по смыслу задачи.
Ответ: 10 человек в одной шеренге.

6 Самостоятельная работа

29 июня для взятия Брестской крепости немцы вызывают авиацию. Это была дата начала конца. Немцам удалось захватить около 400 пленных. Майор Пётр Гаврилов, который руководил обороной на одном из участков, в плен не сдался. Он укрылся в норе, вырытой в одном из казематов. Последний защитник Брестской крепости принял решение вести свою собственную войну. Оставшись один, майор Пётр Гаврилов тяжело раненным попал в плен (Слайд 17).

Сколько суток продержался практически без еды и без воды последний защитник Брестской крепости?

– На этот вопрос вы найдете ответ, если решите задачу. Для самостоятельного решения я вам предлагаю решить две задачи. Найдите у себя на столах карточки «Решение задач». Если вы выполните задания раньше отведенного времени, поднимите руку и я вам дам задачу более сложную. Если вы решите ее, то заработаете еще одну отметку.

Задача 1. В 2022 году 26 апреля крепости исполнилось ровно 180 лет (Слайд18).

Если число дней, которые продержался последний защитник крепости, уменьшить на порядковый номер месяца основания крепости, и это же число уменьшить на день основания крепости, то произведение полученных чисел на 12 меньше числа исполнившихся ей лет.

Решение:

Пусть данное число дней х, тогда полученные числа (х – 4) и (х – 26). По условию задачи составляем уравнение:

Задача 2. Танки Т-34 стоят на постаментах во многих городах Беларуси. Наверное, это самый распространённый танк-памятник в нашей стране. Периметр прямоугольного корпуса танка Т-34 равен 18 м. Найдите стороны прямоугольного корпуса, если его площадь равна 18 м².

Решение:

По условию периметр прямоугольного корпуса равен 18 м, значит Р = 2(а + в) = 18, тогда полупериметр равен Р/2 = а + в = 9 (м). Пусть одна сторона прямоугольного корпуса равна х м, тогда вторая сторона (9 – х) м. По условию задачи площадь прямоугольного корпуса 18 м².

Составим и решим уравнение с помощью теоремы Виета.

х(9 – х) = 18
х^2 – 9х + 18 = 0
D = 4
х₁ = 3
х₂ = 6
Ответ: 3 м; 6 м.

Задача 3. При взятии Брестской крепости немцы делали ставку на внезапность. Артиллерийский обстрел должен был быть коротким, но массированным. Но наши защитники оказали им серьёзный отпор, которого немцы не ожидали. 8 дней держали оборону защитники Брестской крепости.

При штурме крепости 22 июня немцы потеряли почти 400 солдат. Количество потерь через 2 дня увеличилось до 441 солдата. Найдите средний ежедневный процент роста потерь немцев в течение этих двух дней.

Решение:

Пусть ежедневный процент роста потерь немцев был х%. По условию задачи составляем уравнение:

  
Количество потерь фашистов каждый день увеличивалось только на 5%. Это, конечно совсем маленький процент, но почему так? Дело в том, что они решили больше не штурмовать крепость, а начать её бомбить.    

Ответ: 5%.

– Свои работы вы проверяете сами. На слайде вы можете видеть ответы (Слайды 19, 20).

– Каждая задача оценивается в 2 балла. Если уравнение составлено верно, но решено неправильно, значит – 1 балл. Подсчитайте, сколько баллов вы набрали за «Решение задач» и поставьте набранные баллы в оценочные листы в строку «Решение задач».

– А сейчас я попрошу вас подсчитать, сколько всего баллов вы заработали за урок и перевести сумму баллов в отметку по шкале, которая находится справа в оценочном листе.

– Поставьте в оценочный лист заработанную отметку.

7 Итог урока. Рефлексия

– Ребята, давайте вернёмся к цели нашего урока и посмотрим, достигли мы её или нет (Слайд 21).

– Мы повторили теорию, которая нужна для решения задач?

– Мы применили знания для решения практико-ориентированных задач?

– На последующих двух уроках мы продолжим решение задач на составление квадратных уравнений и будем решать задачи более сложные.

– Ребята, сейчас я вас попрошу высказать своё мнение об уроке. Переверните оценочные листы и подчеркните своё отношение к уроку (Слайд 22).

– А теперь поднимите руки те, кто получил за урок десятку, девятку, восьмёрку, семёрку.

8 Домашнее задание

– В качестве домашнего задания я предлагаю вам решить задания, подобные тем, что рассматривались на уроке. Запишите в дневники: §11, № 2.196(в), 2.204 и дополнительную задачу № 3 – по желанию. С разбора этой задачи мы с вами начнем наш следующий урок (Слайд 23).

– Дорогие ребята, подводя итоги урока, мне хотелось бы, чтобы каждый из вас помнил и понимал, что мир в нашей стране зависит от каждого из нас. Ведь вы не понаслышке знаете, что в мире сейчас очень неспокойно. И я всем вам желаю мира и благополучия (Слайд 24).

– Спасибо за работу! При выходе из класса положите мне на стол оценочные листы, все остальные карточки заберите с собой.

Приложение

Поделиться ссылкой: