Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

X класс, профильная группа

Наталья  ШОЛОМИЦКАЯ,
учитель математики
ГУО «Гимназия №1 им. Ф.Я.Перца г. Пинска»

Этот урок занимает центральное место в изучении темы «Перпендикуляр и наклонная». Понимание темы очень важно, т.к. решение многих задач стереометрии основано на ней. Чтобы сформировать представление о теме, на уроке использованы частично-поисковые, наглядные методы работы с учащимися. Учащиеся работали и в парах, и индивидуально.Урок проводился в профильной группе X класса.

Тема урока: «Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах»

Тип урока: изучение и первичное закрепление нового материала.

Цель урока: изучить теорему о трех перпендикулярах и уметь её применить при решении задач.

Задачи урока:

Обучающие

• сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численные значения каких-нибудь элементов;
• учить умению читать чертежи;
• учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.

Развивающие

• развивать навыки исследовательской деятельности: выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов;
• способствовать развитию общения, как методу научного познания.

Воспитательные

• формировать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);
• способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: ПК, раздаточный материал, стереометрические фигуры, чертежные инструменты.

Ход урока

I Организационный этап

– Дорогие ребята, сегодня на уроке мы изучим теорему о трех перпендикулярах, научимся применять ее при решении задач. Вы убедитесь, насколько удобна теорема в использовании и насколько упрощается решение задач с ее помощью. Девизом сегодняшнего урока я выбрала слова знаменитого белорусского классика Якуба Колоса: «Только те знания становятся нашим достижением, которые мы добываем сами».

II Актуализация знаний

1) Проверка домашнего задания. Заранее на доске приготовлено решение домашней задачи.

Дано: SABC – пирамида

SB⊥(ABC), ABCD – параллелограмм,
АВ= 3 см, ВС= 5 см, SB= 4 см.

Найти: длину большего бокового ребра.

Решение

1) SА, SС, SD – наклонные к плоскости основания. ВА, ВС, ВD – их проекции. Большей проекции соответствует большая наклонная.

2) Из Δ АВD по теореме косинусов найдем ВD:

ВD²= АВ² +АD² – 2*АВ*АD*cos∠A=3²+5² – 2*3*5*1/2=9+25 – 15=19, ВD=√19 см.

3) 3<√19<5, значит, ВС большая проекция, тогда SС – большая наклонная.

4) Из Δ SВС – прямоугольного по теореме Пифагора найдём SС:
SС= √4²+5²= √41 (см).

Ответ: √41 см.

2) Для успешной работы нам необходимо вспомнить изученные определения и теоремы.

У каждого ученика лист для ответов

1 Верно ли, что две прямые параллельные одной плоскости, перпендикулярны ей (две прямые перпендикулярные одной плоскости, параллельны ей)?

2 Может ли прямая, перпендикулярная плоскости, быть скрещивающейся прямой, лежащей в плоскости (прямая, перпендикулярная плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в плоскости)?

3 Верно ли, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости (если она перпендикулярна двум прямым, параллельным этой плоскости)?

4 Могут ли скрещивающиеся прямые быть перпендикулярны одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярны одной плоскости)?

5 Верно ли, что прямая, перпендикулярная двум пересекающимся  прямым плоскости, перпендикулярна и самой плоскости (две прямые в пространстве, перпендикулярные третьей, параллельны)?

6 Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные одной прямой (прямая и плоскость, перпендикулярные одной прямой)?

7 Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из одной точки)?

Ключ:

Критерии оценок: 7 – «10», 6 – «8», 5 – «6», 4 – «4», 3 – «3», 2 – «2», 1 – «1».

Проверяют в парах, выставляют отметки.

3) Чтобы распил деревянного бруска был перпендикулярен его ребру, прямые АВ и АС проводят через точку А, лежащую на ребре перпендикулярно этому ребру, затем пилят так, чтобы распил шёл по этим прямым.

Как распилить деревянный брусок, чтобы распил был перпендикулярен его ребру?

4) Почему вода скатывается с крыши по прямой, перпендикулярной её горизонтальному краю? (кратчайшее расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра).

III Изложение нового материала

1) Перед доказательством теоремы решить устно задачу.

Задача 1

Из точки S к плоскости квадрата АВСD проведен перпендикуляр SB и наклонные SA,SC и SD. Назовите все прямоугольные треугольники с вершиной в точке S.

Решение. AD⊥АВ и АD⊥SB, значит, АD⊥(SAB), АС⊂(SАВ), значит, AD⊥АS, тогда ΔSAB – прямоугольный. Аналогично ΔSСD – прямоугольный. Также прямоугольными являются ΔSАВ и ΔSВС. Вернемся к этой задаче после доказательства теоремы.

2) Сформулировать и доказать теорему о трех перпендикулярах (презентация).

IV Закрепление нового материала

1) На каждой парте – модель многогранника, продемонстрировать на этих моделях работу теоремы о трех перпендикулярах.

2) Вернемся к ранее решенной задаче. Как упростится ее решение с использованием теоремы о трех перпендикулярах?

SC – наклонная, ВС – её проекция, прямая DС лежит в плоскости (АВС) и ВС⊥DС, значит, DС⊥SC, значит, ΔSDС – прямоугольный. Пусть SВ = 7 см, SD = 9 см, SA = 6 см. Найти расстояние от точки S до плоскости прямоугольника. Найти площадь ΔАSD.

Решение.

1) d(S,(ABC)) = SB.
2) ΔSAD – прямоугольный, по теореме Пифагора
АD = √9² – 6² = 3√3²-2² = 3√5 (см) = ВС.
3) ΔSВС – прямоугольный, по теореме Пифагора
SВ = √49 – 45=√4=2 (см).
4) SΔ_SАД = ½*SА*АD = 1/2*6*3√5 =9√5 (см²)

Ответ: SВ=2 см, SΔ_SАD= 9√5 см².

Задача 2 (устно)

ΔАВС – равнобедренный (АВ=АС), АК⊥(АВС), М – середина ВС. Докажите, что МК⊥ВС.

Доказательство: ΔАВС – равнобедренный, значит, медиана АМ является также высотой, т.е. АМ⊥ВС. КМ – наклонная, АМ – её проекция, ВС – прямая в плоскости (АВС). ВС⊥АМ, значит, ВС⊥КМ.

Задача 3

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла СВD. Докажите, что если ∠АВС = ∠АВD, то проекцией луча ВА на плоскость СВD является биссектриса ∠СВД.

Решение.

1) АЕ⊥(DВС)
2) ЕМ⊥ВС, значит, по теореме о трех перпендикулярах АМ⊥ВС
3) Аналогично ЕК⊥ВD, значит, АК⊥ВD.
4) Рассмотрим ΔВАМ и ΔВАК – прямоугольные. АВ – общая, ∠АВС = ∠АВК, значит, ΔАВМ= ΔВАК по гипотенузе и острому углу, тогда ВМ = ВК.
5) Рассмотрим ΔВМЕ и ΔВКЕ – прямоугольные, у них ВЕ – общая и ВМ = ВК, значит, ΔВМЕ=ΔВКЕ по гипотенузе и катету, значит, ∠МВЕ = ∠КВЕ, то ВЕ – биссектриса угла СВD.  
ч т.д.

Задача 4 (подведение итогов).

Дано: АD⊥(АВС), ∠ВАС=62°^, ∠АСВ=28°^. Каково взаимное расположение прямых ВС и ВD. Ответ обоснуйте.

Решение:

1) ∠АВС = 90°

2) ВС⊥АВ, АВ – проекция, DВ – наклонная, значит, ВС⊥DВ, по теореме о трех перпендикулярах.

V Домашнее задание Гл.3, §2.

Задачи:

1) Прямая ОВ перпендикулярна плоскости квадрата АВСD, найдите плоскости ΔОАD, если ОВ = 8 см, АВ = 6 см.

2) Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды МАВС равна 8 см. Найти расстояние от вершины М до плоскости основания АВС, если АВ = 12 см.

VI Подведение итогов. Рефлексия.

Подведение итогов урока, определение основных знаний, умений и навыков, которые приобрели на уроке и выставление оценок.

Поделиться ссылкой: