Арыфметычная прагрэсія. Формула n-га члена арыфметычнай прагрэсіі. Характарыстычная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі. Урок матэматыкі ў 9-м класе

Плануецца, што вучні пазнаёмяцца з паняццем “арыфметычная прагрэсія”, формулай n-га члена арыфметычнай прагрэсіі, характарыстычнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі, змогуць прымяняць гэтыя формулы пры рашэнні задач.

Таццяна БАРАБАН,
настаўнік матэматыкі
ДУА “Геранёнская сярэдняя школа”
Іўеўскага раёна,
Гродзенская вобласць

Тэма: Арыфметычная прагрэсія. Формула n-га члена арыфметычнай прагрэсіі. Характарыстычная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Мэта: плануецца, што вучні пазнаёмяцца з паняццем “арыфметычная прагрэсія”, формулай n-га члена арыфметычнай прагрэсіі, характарыстычнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі, змогуць прымяняць гэтыя формулы пры рашэнні задач.

Задачы:

– адукацыйныя: стварыць умовы для знаёмства з паняццем “арыфметычная прагрэсія”; фарміраваць у вучняў уменні прымяняць формулу n-га члена арыфметычнай прагрэсіі і яе характарыстычную ўласцівасць пры рашэнні задач; праверыць узровень першаснага засваення вучнямі матэрыялу па гэтай тэме;
– развіваючыя: стварыць умовы для развіцця пазнавальнага інтарэсу, увагі, мыслення, умення аналізаваць;
– выхаваўчыя: садзейнічаць выхаванню культуры вуснага і пісьмовага маўлення, самастойнасці, адказных адносін да вучэбнай работы, павагі да гістарычнага мінулага нашай краіны.

Тып урока: вывучэнне і першаснае замацаванне новых ведаў.

Метады і прыёмы навучання: славесныя, наглядныя, часткова-пошукавыя.

Формы работы: франтальная, індывідуальная, парная.

Абсталяванне: падручнік, прэзентацыя, раздатачны матэрыял.

Ход урока

І Арганізацыйны момант

Стварэнне псіхалагічнага настрою.

Скажыце, калі ласка, як вы разумееце слова “прагрэс” або “прагрэсія”?

Тэрмін “прагрэсія” (лац. Progressio – “рух наперад”) мае некалькі тлумачэнняў: поспех, рост, паступовае ўзмацненне або прасоўванне. Увогуле, з’яўленню тэрміна “прагрэсія” матэматыкі абавязаны рымскаму вучонаму і філосафу Аніцыю Баэцыю (V–VI стст.). І я спадзяюся, што гэтыя словы стануць дэвізам не толькі нашага сённяшняга ўрока, але і будуць суправаджаць вас на працягу ўсяго вашага жыцця. Разам з вамі мы будзем рухацца толькі наперад.

ІІ Актуалізацыя ведаў

Хачу напомніць вам, што мы з вамі перайшлі да вывучэння адной з цікавых тэм алгебры 9-га класа – “Лікавыя паслядоўнасці”. А зараз давайце ўспомнім папярэдні матэрыял.

1. Прывядзіце прыклады лікавых паслядоўнасцей.
2. Якім спосабам можна задаць паслядоўнасць?
3. Якія члены паслядоўнасці (b_n) размешчаны паміж b₁₂₅ і b₁₃₂, b_{n – 1} і b_{n +3}?
4. Паслядоўнасць зададзена формулай: a_n= 3n+ 6.
Знайдзіце: a₅, a₁₀,
5. с₁ = – 6, с_n+1 = с_n– 4. Знайдзіце: с₂, с₃, с₄.
Разгадайце шыфр

          Адказ: 2.04.1996

Як вы думаеце, што гэта за дата?

Штогод 2 красавіка адзначаецца Дзень яднання народаў Беларусі і Расіі. Менавіта ў гэты дзень у 1996 годзе прэзідэнты дзвюх дзяржаў падпісалі дагавор “Аб утварэнні Супольнасці Расіі і Беларусі”. Факт падпісання паклаў пачатак працэсу ўзаемнай інтэграцыі краін. Роўна праз год, 2 красавіка 1997 года, быў падпісаны Дагавор аб Саюзе Беларусі і Расіі.

ІІІ Мэтавызначэнне

Стварэнне праблемнай сітуацыі, пастаноўка тэмы і мэты ўрока.

На дошцы запісаны паслядоўнасці. Прадоўжыце іх.

а) 3; 6; 9; …
б) – 12; – 14; – 16; …
в) – 2; –5; – 9; …
г) 1; 2; 3; 4; …
д) 2; 4; 6; 8; …

Якія паслядоўнасці ўтвораны з дапамогай аднаго і таго ж правіла? (а, б, г, д). Давайце паспрабуем даць азначэнне такім лікавым паслядоўнасцям.

Тэма нашага ўрока “Арыфметычная прагрэсія. Формула n-га члена арыфметычнай прагрэсіі. Характарыстычная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі”. Зыходзячы з тэмы ўрока вызначце асноўныя задачы нашага ўрока. Для фармуліроўкі выкарыстоўвайце дзеясловы:

вызначыць …
вывучыць …
даведацца …
выявіць …

Карэкціроўка адказаў вучняў. Размяшчэнне ключавых паняццяў на дошцы.

ІV Вывучэнне новага матэрыялу

Вучні запаўняюць табліцу. (Дадатак 1)

Азначэнне. Арыфметычнай прагрэсіяй называецца лікавая паслядоўнасць, кожны член якой, пачынаючы з другога, роўны папярэдняму члену, складзенаму з адным і тым жа для дадзенай паслядоўнасці лікам, г. зн. a_{n + 1} = a_n + d, дзе n ∈ N, d ∈ R.

Лік d называецца рознасцю арыфметычнай прагрэсіі.

З роўнасці a_{n + 1} = a_n + d вынікае, што d = a_{n + 1} − a_n.

Каб задаць арыфметычную прагрэсію (а_п), дастаткова задаць яе першы член a₁ і рознасць d.

Напрыклад, калі a₁ = 3, d = 4, то атрымаецца арыфметычная прагрэсія 3; 7; 11; 15; … .

Калі a₁ = 2, d = −3, то арыфметычная прагрэсія мае выгляд 2; −1; −4; −7; −10; …

Першаснае замацаванне новага матэрыялу

1. Назавіце першыя пяць членаў арыфметычнай прагрэсіі:

1-ы варыянт а) а₁ = 6, d = 5;
2-і варыянт  б) а₁ = 4, d = – 2;
3-і варыянт  в) а₁ = –2, d = 0.

2. Дадзена: (а_n) – арыфметычная прагрэсія.

1-ы варыянт – а) а₁ = 2, а₂ = 6. Знайсці: d.
2-і варыянт –  б) а₃ = 8, а₄ = 5. Знайсці: d.
3-і варыянт –  в) а₇ = 12, а₈ = –2. Знайсці: d.

(самаправерка, правільныя адказы на слайдзе).

Матывацыя.

Калі прапанаваць вашай увазе такую задачу: а₁ = 4, d = 6, а знайсці трэба, а₁₀₁. Вельмі нязручна вылічваць падрад 100 лікаў арыфметычнай прагрэсіі. Можа, ёсць іншы спосаб?

Даследчая работа

Цяпер мы паспрабуем вывесці формулу для вылічэння n-га члена арыфметычнай прагрэсіі.

Дадзена: (а_n) – арыфметычная прагрэсія, a₁ – першы член прагрэсіі, d – рознасць.

1) a₂ = a₁ + d
2) a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
3) a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) +d = a₁ + 3d
4) a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) +d = a₁ + 4d
5) …
6) a_n = a₁+ (n – 1)d

Формула n-га члена арыфметычнай прагрэсіі (a_n) дазваляе вылічыць любы член прагрэсіі, ведаючы яе першы член a₁, нумар члена n і рознасць прагрэсіі d.

Разгледзім розныя варыянты задач, пры рашэнні якіх прымяняецца формула п-га члена арыфметычнай прагрэсіі.

1) a₁ = 5, d = 3, a₂₁ – ?
2) a₁ = –2, d = 3, a_n = 118, n – ?
3) d = –2, a₃₆ = 82, a₁ – ?
4) a₁ = 7, a₁₅ = –35, d – ?

Фізкультхвілінка (гімнастыка для вачэй)

Характарыстычная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі.

Знайдзіце сярэдняе арыфметычнае лікаў 2 і 10: (2 + 10)/2 = 6. Запішам у парадку ўзрастання гэтыя лікі 2; 6; 10. Ці ўтварае дадзеная тройка арыфметычную прагрэсію? Знайдзіце чацвёрты, пяты, шосты член гэтай паслядоўнасці. Атрымалі: 2; 6; 10; 14; 18; 22.

Праверым, ці выконваецца дадзеная заканамернасць для любой тройкі лікаў гэтай паслядоўнасці? (Так.) Давайце паспрабуем сфармуліраваць уласцівасць членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Любы член арыфметычнай прагрэсіі, пачынаючы з другога, з’яўляецца сярэднім арыфметычным папярэдняга і наступнага членаў.

Справядліва і адваротнае сцверджанне: калі ў паслядоўнасці кожны яe член, пачынаючы з другога, роўны сярэдняму арыфметычнаму папярэдняга і наступнага (суседніх з ім) членаў, то паслядоўнасць з’яўляецца арыфметычнай прагрэсіяй.

Дадзена: (а_n) – арыфметычная прагрэсія,

1-ы варыянт а) а₁ = 2, а₃ = 6. Знайсці: а₂
2-і варыянт  б) а₃ = –5, а₅ = 5. Знайсці: а₄
3-і варыянт  в) а₇ = 10, а₉ = 6. Знайсці: а₈

V Замацаванне матэрыялу

Заданне з падручніка № 4.49, 4.52, 4.53

Прагрэсія сустракаецца не толькі ў матэматыцы, але і ў іншых дысцыплінах. Якія задачы можна скласці па дадзеных умовах?

У біялогіі: Вышыня саджанца – 50 см, першыя паўгода яна павялічваецца штомесяц у сярэднім на 4 см.

У фізіцы: Кінутае з некаторай вышыні цела ў першую секунду падае на 4 м, а ў кожную наступную – на 10 м больш, чым у папярэднюю.

У жыцці: Курс паветраных ваннаў пачынаюць з 15 мінут у першы дзень і павялічваюць час гэтай працэдуры ў кожны наступны дзень на 10 мінут.

VІ Выніковы кантроль

Вучні выконваюць тэст.

QR-код або спасылка:   https://forms.gle/FGkNYMCvtz4aXXEEA

1. Чаму роўна рознасць арыфметычнай прагрэсіі 4; 7; 10; 13; …? Выберыце правільны варыянт адказу.

1) –3;                 2) 4;               3) 3;                  4) 6.

2. Якія з паслядоўнасцей з’яўляюцца арыфметычнымі прагрэсіямі?

1. – 2; 0; – 2; 0; – 2; 0; …
2. 4; 8; 16; 32; 64; …
3. 7; 5; 3; 1; – 1; …
4. 9,2; 11,3; 9,3; 11,4; 9,4; …
5. 4,2; 4,5; 4,8; 5,1; 5,4; …

3. Першы член арыфметычнай прагрэсіі роўны 5, а рознасць роўна 3. Знайдзіце 7-ы член гэтай паслядоўнасці.

Адказ:

4. Знайдзіце першы член арыфметычнай прагрэсіі (а_п), у якой а₂₀ = –2, d = –5.

Адказ:

5. Пяты і сёмы члены арыфметычнай прагрэсіі роўныя 3,5 і 8,25 адпаведна. Чаму роўны шосты член гэтай прагрэсіі?

1) 11,75;      2) 5,865;      3) 5,875;         4) 5,0875.

VІІ Дамашняе заданне

§ 15, с. 211, № 4.83, 4.86, 4.87 (па жаданні № 4.102)

VІІІ Падвядзенне вынікаў. Рэфлексія

– Што новага даведаліся на ўроку?
– Назавіце формулу n-га члена арыфметычнай прагрэсіі?
– Карыстаючыся дадзенай формулай, што мы можам знайсці?

Настаўнік аналізуе работу вучняў і выстаўляе адзнакі ў дзённікі.

Поделиться ссылкой: