Гипотеза: Понятие масштаба применяется в различных науках и имеет широкий спектр применения в реальной жизни. Если изучить понятие масштаба в теории, то можно научиться применять полученные знания на практике.
Давид ПАСЬ, учащийся 7-го класса
Людмила ЗАЯЦ, учитель математики
ГУО «Озёрковская средняя школа»
Мостовского района,
Гродненская область
Введение
Выбор темы исследовательской работы связан с моим участием в конкурсе «Спасатели глазами детей». Вместе с папой мы изготавливали поделку-макет пожарной машины. Вопрос папы: «В каком масштабе будем делать?» – застал меня врасплох. На тот момент я учился в 6-м классе и не смог дать правильный ответ.
Папа объяснил мне, что, рисуя на бумаге изображение или делая макеты каких-либо предметов, мы чаще всего вынуждены изменять их настоящие размеры: большие предметы приходится изображать в уменьшенном виде, а маленькие – увеличивать. Например, участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Примером такого изображения служит любая карта, план. А маленькие детали изображают на чертежах в увеличенном виде.
На уроках математики мы ознакомились с этой темой, из нее я узнал, как, используя масштаб, можно найти расстояние на местности, зная длину отрезка на карте, соответствующего этому расстоянию на местности, и наоборот. Все вычисления, связанные с масштабом, выполняются по математическим правилам, т.е. изображают предметы реальной жизни различных размеров в зависимости от необходимости.
Гипотеза: Понятие масштаба применяется в различных науках и имеет широкий спектр применения в реальной жизни. Если изучить понятие масштаба в теории, то можно научиться применять полученные знания на практике.
Цель: изучение теории и поиск применения понятия масштаба на практике.
Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:
– изучить и проанализировать литературу, интернет-ресурсы, материалы по теме, способы нахождения масштаба, изучение специальных и общих методов решения задач на нахождение масштаба;
– решить практикоориентированные задачи, связанные с использованием масштаба, в том числе задачи РISА – международной программы по оценке образовательных достижений учащихся.
Объект: отрасли и сферы деятельности человека, где необходимо применение масштаба.
Методы исследования:
1) Изучение, обобщение и анализ информации, адаптация и конкретизация полученных нами результатов.
2) Решение текстовых задач.
Актуальность исследования заключается в практической значимости полученных результатов. В ходе исследования результаты могут быть использованы обучающимися при решении задач по теме, а также могут применяться в различных жизненных ситуациях, например, при составлении дизайна интерьера квартиры, ландшафтного дизайна садового участка дома, школы, детского сада, для выполнения моделей машин, танков, самолетов, зданий в уменьшенном масштабе, что будет способствовать развитию кругозора.
Об умном человеке говорят:
«Масштабно мыслит».
Будем этому учиться!
Масштаб и его виды
Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например, самолет или другие большие предметы, в натуральную величину, поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже или макете человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысячу и так далее. Число, показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. С античных времён и до наших дней карты служат людям. В Древнем Египте, античной Греции и в Риме уже применялись простейшие способы определения расстояний, расчёта площадей, а в средние века, особенно в эпоху Великих географических открытий, карты стали необходимы мореплавателям, землепроходцам, купцам. Масштаб был придуман древнегреческим математиком Евклидом (ок. 325 г. до н.э. – ок. 365 г. до н.э.).
Много веков назад при строительстве жилищ, крепостей и других сооружений появились первые чертежи, которые назывались «планами». Эти чертежи обычно выполнялись в натуральную величину непосредственно на земле, на месте будущего сооружения. Для выполнения таких чертежей- гигантов были созданы специальные чертёжные инструменты – деревянный циркуль-измеритель и верёвочный прямоугольный треугольник. В дальнейшем такие планы-чертежи стали выполнять на пергаменте, дереве или холсте в уменьшенном масштабе с нанесением на них размеров.
Масштаб происходит от немецкого maßstab, буквально, «мерная палка» (maß – «мера», stab – «палка»). В общем понимании масштаб – это отношение двух линейных размеров. Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
Виды масштабов
Есть три вида масштаба: численный, именованный, графический. Масштабы на картах и планах могут быть представлены численно или графически.
Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – степень уменьшения объекта. Например, масштаб 1:9 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 9000 см (90 м) на местности. Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:500 крупнее, чем масштаб 1:20 000.
Именованный масштаб показывает, какое расстояние на местности соответствует 1 см на плане. Записывается, например: «В 1 сантиметре 100 километров», или «1 см = 100 км».
Графические масштабы подразделяются на линейные и поперечные.
1:500 в 1 см – 5 м
1:1500 в 1 см – 15 м
1: 50000 в 1 см – 500 м
1: 200000 в 1 см – 2 км
1: 3000000 в 1 см – 30 км
Если в записи масштаба вторая величина больше первой, то данный масштаб называют масштабом уменьшения (1:2; 1:4; 1:10; 1:40; 1:200; 1:500; 1:1000).
Если в записи масштаба первая величина больше второй, то данный масштаб называют масштабом увеличения. Масштабы увеличения 2:1; 4:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50 :1; 100:1.
Если оба одинаковые, то натуральная величина. Натуральная величина 1:1.
Области применения масштаба. Масштаб и картография
В настоящее время ни один путешественник или турист не может обойтись без подробной карты местности. Благодаря карте, они могут ориентироваться на местности и не бояться заблудиться. Также житель любого города мира использует карту, чтобы ориентироваться на местности. При этом карты местности не изображают объекты в натуральную величину, для наглядного изображения используют масштаб.
С развитием информационных технологий появились спутниковые карты. Например, на спутниковой карте Мостовского района, которую можно найти на сайте «belaruscity.net», есть агрогородок Большие Озёрки. Я распечатал карту и определил её масштаб. Расстояние по карте – 8,5 см, по трассе – 34 км.
|
На карте |
На местности |
|
8,5 см |
34 км = 3400000 см |
|
1 см |
х см |
х = (3400000*1) : 8,5 = 400 000 см. Значит, масштаб карты 1:400 000
На сервисе «Яндекс Карты» нашёл интерактивную карту Гродненской области.
Электронная карта, работающая в режиме двустороннего диалогового взаимодействия человека (пользователя) и компьютера, представляет собой визуальную информационную систему. Для получения необходимой информации от нас требуется ввод данных, наведение указателем мышки, приближение и удаление интересующей географической точки и т.д. Интерактивная карта позволяет рассчитать километраж, между двумя указанными точками. Для этого надо на карте отметить две точки и получить результат в километрах.
Далее я определил по электронной карте расстояние от города Гродно до агрогородка Большие Озёрки, поделился с папой полученным результатом (он составил 98 км). Папа сказал, что приблизительно я определил правильно. Но чаще показание спидометра по вышеуказанному маршруту составляет 101 км. Вывод: я сделал измерения с некоторой погрешностью или нашёл масштаб с погрешностью.
Масштаб в повседневной жизни
Чертежи помогают в повседневной жизни, например, при строительстве и дизайн-проектах на садовом участке.
Возьмём участок с площадью 12 соток. У каждого члена семьи своё видение на проект: где поставить домик, где посадить фруктовый сад, поставить бассейн, разбить клумбу. Здесь необходимы интегрированные знания. Опять без математики не обойтись!
1) Определим площадь огорода, если на плане с масштабом 1:600 он имеет форму прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см.
Масштаб 1: 600, т.е. 1 см на карте равен 600 см или 6 м на местности.
2) Найдем длину огорода.
Карта местность
1 см – 6 м
4 см – а м
а = 4×6= 24 (м)
3) Найдем ширину огорода
Карта местность
1 см – 6 м
6 см – b м
b = 6 × 6= 36 (м)
4) Найдем площадь огорода S = а × b
S = 24 × 36 = 864 (м2) – площадь огорода.
Ответ: 864м2
После такого подробного подсчёта родителям будет очень просто распределить объекты по периметру.
Масштаб в примерах открытых заданий по математической грамотности PISA 2012
Задача «Покупка квартиры»
Это план квартиры, которую родители Гриши хотят купить через агентство недвижимости. Для вычисления общей площади квартиры (включая террасу и стены) можно измерить размеры каждой комнаты, рассчитать площадь каждой из них и сложить все площади. Но можно и от всей площади участка дома вычесть площадь, где нет жилых комнат.
S = (9,7м × 8,8 м) – (2 м × 4,4 м) = 76,56 м2,
S = 76,56 м2
Ответ: 76,56 м2
Демонстрационный вариант диагностической работы по математической грамотности, IX класс
Задача «Карта»
На рисунках 5 и 6 показаны два фрагмента одной карты «Операция у Березины», 1812 год.
Задание: Укажите расстояние, которое преодолели русские войска под командованием генерала П.Х.Витгенштейна, преследуя французов от Чашник до Студёнки. Расстояние на карте по прямой от населенного пункта Чашники до населённого пункта Студёнка равно 49 мм.
а) 214 км; б) 234 км; в) 254 км; г) 294 км; д) 294 000 м.
Решение. 49 мм = 4,9 см
Карта местность
1 см – 60 км = 6 000 000 см
4,9 см – х см
х = (4,9 × 6000 000) : 1 = 29400000 см = 294 000 м = 294 км.
Ответ: г), д).
Задача «Остров сокровищ»
«Дело в том, что я являюсь правнуком капитана Флинта, который, как известно, был пиратом. Как и полагается пиратам, мой прадед любил сокровища. Один клад был найден. Перипетии поисков этого клада описаны в книге Стивенсона «Остров сокровищ». Но совсем недавно, роясь в бумагах Флинта, я обнаружил старую карту, на которой должно было быть отмечено место другого, неизвестного клада. Но по непонятным мне причинам эта отметка отсутствует на карте. Тщательно изучив дневник капитана, я нашел лишь несколько строк, описывающих место расположения сокровищ. Вот они: «От Большого дерева на плече Подзорной трубы, направление на восток – 1,5 км. Затем к югу – на 1,8 км».
Так как я плохо учился в школе, то сам не могу отыскать это место на карте. Вот я и прошу вас, дорогие ребята, помогите мне его отыскать. Тому, кто решит задачу, будет награда.
С уважением, Джонатан Флинт
PS: Карта прилагается»
Расстояние на карте от Большого дерева на плече Подзорной трубы на восток (влево) равно 1,5 см.
Карта местность
1 100 000
х 1,5 км = 1500 м = 150 000 см
х = (150 000*1): 100 000 = 1,5 см.
Аналогично, вычислим расстояние на юг (вниз). Оно равно 1,8 см.
Карта местность
1 100 000
х 1,8 км = 1800 м = 180 000 см
х = (180 000*1) : 100 000 =1,8 см.
Поэтому, судя по карте, клад стоит искать в южной яме.
Заключение
В ходе работы гипотеза нашла свое подтверждение. Предполагалось, что понятие масштаба применяется в различных науках и имеет широкий спектр применения в повседневной жизни. Изучив теоретические вопросы по определению масштаба и его применения на практике, я делаю вывод, что на сегодняшний день во многих сферах деятельности человек использует масштаб: картография, моделизм, фотография, строительство, землеустройство, инженерия, полиграфия, электроника, микробиология, микрохирургия, изготовление мебели, пошив одежды и многое другое. Все вычисления, связанные с масштабом, выполняются по математическим правилам. Поэтому каждый из нас должен иметь навык математической грамотности.
Масштаб приходит на помощь, когда невозможно в натуральную величину изобразить объект.
Я научился пользоваться интерактивной картой на интернет-ресурсе «Яндекс карты», рассчитывать по ней километраж между двумя указанными точками, самостоятельно составлять и решать задачи, связанные с масштабом. Выяснил, что ни на одной карте, даже суперсовременной цифровой, невозможно отобразить географический объект в его реальном размере. Поэтому, при нанесении изображения тех или иных городов, рек, гор или даже целых материков на карту все эти объекты пропорционально уменьшаются. Я думаю, что полученные знания в ходе работы над проектом, не раз пригодятся мне в жизни.
Главное то, что уже сейчас я могу без особых затруднений изображать предметы реальной жизни различных размеров в зависимости от поставленных задач.
Цель исследования достигнута, гипотеза доказана.
Предложить публикацию